CÓMO MULTIPLICAR SIN SABER LAS TABLAS.

CIENCIAS FORMALES - MATEMATICA.

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Por: Adrián Paenza.

¿Cómo multiplicar si uno no sabe las tablas?

Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decir que los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas. Sólo se requiere: 

1. saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);
2. saber dividir por 2, y
3. saber sumar. 

Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones de Rusia. Es conocido como la multiplicación paisana . En lugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que será suficiente para entenderlo. 
Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136. 
En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1. 
Ahí para. 
Esta columna, entonces, quedó así: 
19
9
4
2
1 
Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna. Es decir: 

19	136
9	272
4	544
2	1.088
1	2.176

Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha. Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso: 

19	136
9	272
4	544
2	1.088
1	2.176

Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene: 

136 + 272 + 2.176 = 2.584 
que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136. 

Un ejemplo más. 
Multipliquemos ahora 375 por 1.517. Me apuro a decir que da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces: 

375	1.517
187	3.034
93	6.068
46	12.136
23	24.272
11	48.544
5	97.088
2	194.176
1	388.352

Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros de la primera columna sean impares: 

375	1.517
187	3.034
93	6.068
46	12.136
23	24.272
11	48.544
5	97.088
2	194.176
1	388.352

Y, justamente, 568.875 es el producto que estábamos buscando. 
Ahora, le invito a que piense por qué funciona este método que no requiere que uno sepa las tablas de multiplicar (salvo la del 2, claro). 

EXPLICACIÓN: Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de un número, lo que debe hacer es dividir el número por 2 reiteradamente, y anotar los restos que las cuentas arrojan. Por ejemplo: 

173 =	86 * 2	+ 1
86 =	43 * 2	+ 0
43 =	21 * 2	+ 1
21 =	10 * 2	+ 1
10 =	5 * 2	+ 0
5 =	2 * 2	+ 1
2 =	1 * 2	+ 0
1 =	0 * 2	+ 1

De modo que el número 173 se escribirá (recorriendo los restos de abajo hacia arriba): 

10101101 
Supongamos ahora que uno quiere multiplicar 19 por 136. 
Entonces, lo que hacíamos era dividir sucesivamente por 2 el número 19: 

19 =	9 * 2	+ 1
9 =	4 * 2	+ 1
4 =	2 * 2	+ 0
2 =	1 * 2	+ 0
1 =	0 * 2	+ 1

Es decir que la escritura binaria del 19 se obtiene recorriendo de abajo hacia arriba los restos; por lo tanto, se tiene el 10011. 
Por otro lado, esto nos dice que el número 19 se escribe así: 

19 = 1 * 2 ⁴ + 0 * 2 ³ + 0 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ = (16 + 2 + 1) 
Luego, cuando uno tiene que multiplicar 19 por 136, aprovechamos la escritura enbinario de 19, y anotamos: 

19 * 136 = 136 * 19 = 136 * (16 + 2 + 1) = 
(Y ahora, usando la propiedad distributiva de la multiplicación, se tiene:) 

= (136 * 16) + (136 * 2) + (136 * 1) = 2.176 + 272 + 136 = 2.584 
Esto explica por qué funciona este método para multiplicar. 
Encubiertamente, uno está usando la escritura binaria de uno de los números. 
Veamos el otro ejemplo (375 . 1.517): 

375 =	187 * 2	+ 1
187 =	93 * 2	+ 1
93 =	46 * 2	+ 1
46 =	23 * 2	+ 0
23 =	11 * 2	+ 1
11 =	5 * 2	+ 1
5 =	2 * 2	+ 1
2 =	1 * 2	+ 0
1 =	0 * 2	+ 1

Luego, la escritura binaria del 375 es: 

375 = 101110111 
Es decir: 
375 = 1 * 2 ⁸ + 0 * 2 ⁷ + 1 * 2 ⁶ + 1 * 2 ⁵ + 1 * 2 ⁴ + 0 * 2 ³ + 1 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ =
= 256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 (*) 
Si uno quisiera multiplicar 1.517 por 375, lo que debe hacer es descomponer el número 375, como está indicado en (*). 
Luego: 
1.517 * 375 = 1.517 * (256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1) = 
(Usando la propiedad distributiva del producto otra vez:) 

= (1.517 * 256) + (1.517 * 64) + (1.517 * 32) + (1.517 * 16) + (1.517 * 4) + (1.517 * 2) + (1.517 * 1) =
= 388.352 + 97.088 + 48.544 + 24.272 + 6.068 + 3.034 + 1.517 
que son justamente los sumandos que teníamos antes. 


En definitiva, la escritura en binario permite encontrar la descomposición de uno de los dos números que queremos multiplicar y, al hacerlo, explica cuántas veces hay que duplicar el otro.

NUMEROS GRANDES.

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Matemáticas.

Escribe: Adrián Paenza.

¿Números grandes? Sí. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene tres mil millones de nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados. Etcétera. Estoy seguro que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.

 
Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar.

En el mundo hay más de seis mil quinientos millones de personas. En realidad ya somos (en agosto de 2005) más de seis mil trescientos millones. Parece mucho, Pero ¿qué es mucho? Veamos. ¿Qué diferencia hay entre un millón y mil millones? (aparte que el ultimo tiene tres ceros más). Para ponerlo en perspectiva, transformémoslos en segundos. Por ejemplo, supongamos que en un pueblo en donde el tiempo sólo se mide en segundos, una persona está acusada de haber cometido un delito. Se enfrentan el fiscal y el abogado defensor delante del juez que interviene en la causa. El fiscal pide "mil millones de segundos para el reo". El defensor lo tilda de "loco" y sólo está dispuesto a aceptar "un millón de segundos, y sólo como un hecho simbólico". El juez, acostumbrado a medir el tiempo de esa forma, sabe que la diferencia es abismal. ¿Entienden las razones?

Piénsenlo así: un millón de segundos son aproximadamente once días y medio. En cambio, mil millones de segundos significan casi... ¡32 años! 

Este ejemplo muestra que, en general, nosotros no tememos idea de lo que representan los números, aun en nuestra vida cotidiana. Volvamos al tema de los habitantes de la Tierra. Si somos seis mil millones y pusieran fotos de todos en un libro, de manera que las hojas fueran de una décima de milímetro de espesor, colocando diez personas por página y utilizando las dos caras de la hoja... el libro tendría… ¡30 kilómetros de alto! Además, si una persona estuviera muy ávida por mirar fotos, y tardara un segundo por página para recorrer las diez que hay allí, y le dedicara 16 horas diarias, le llevaría 28 años y medio mirarlas todas. Con todo, cuando llegara al final, en el año 2033, el libro ya habría aumentado de tamaño, porque ya seríamos dos mil millones de personas más, y el libro tendría otros diez kilómetros más de espesor. 

Pensemos ahora cuánto lugar nos haría falta para poder ponemos a todos juntos. El estado de Texas (el de mayor superficie en los Estados Unidos. exceptuando Alaska) podría albergar a toda la población mundial. Sí. Texas tiene una superficie habitable de aproximadamente 420.000 kilómetros cuadrados, Luego, nosotros, los humanos, podríamos juntarnos en Texas y tener cada uno una parcela de 70 metros cuadrados para vivir, ¿No está mal, no? 

Ahora pongámonos en fila ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados. En este caso la humanidad entera formaría una cola de más de 1.680.000 kilómetros, Eso nos permitiría dar 42 veces la vuelta al globo por el Ecuador. 

¿Qué pasaría si todos nos quisiéramos transformar en artistas de cine y filmáramos una película con nosotros como estrellas? Si cada persona apareciera nada más que 15 segundos (o sea, un poco menos de siete metros de celuloide por humano), se necesitarían unos 40 millones de kilómetros de negativo. Además, si alguien quisiera verla, se tendría que sentar en el cine por 23.333.333 horas, o sea 972.222 días, lo que significan unos 2.663 años. Y esto sucedería siempre que decidamos no dormir, comer ni hacer ninguna otra cosa en la vida. Sugiero que nos distribuyamos para verla y después nos encontremos para contamos lo mejor.

¿QUE ES LA MATEMATICA?

Inauguramos una nueva sección sobre Matemática.

Esperemos sea del agrado de los estudiantes, que sirva a los que gustan de la Matemática y que introduzca a la Matemática a los que no les guste tanto o no la conozcan tanto.

Adrián Paenza

Estas reflexiones fueron inspiradas en un libro de Keith Devlin (¿Qué es la matemática?). Sugiero que lean con la mayor flexibilidad posible. No es patrimonio mío (ni mucho menos). Es un recorrido por una historia que me parece que uno no debería ignorar y, quizá, cuando termine, haya aprendido algo que no sabía.

Si hoy parara a una persona por la calle y le preguntara "¿qué es la matemática?", probablemente contestaría que es el estudio o la ciencia de los números. Lo cierto es que esta definición tenía vigencia hace unos 2500 años. O sea, que la información que tiene el ciudadano común sobre una de las ciencias básicas es equivalente a la de ¡veinticinco siglos atrás! ¿Hay algún otro ejemplo tan patético en la vida cotidiana?

En ese tiempo, la humanidad ha recorrido un camino tan largo y tan rico que creo que podríamos aspirar a tener una respuesta un poco más actual.

Es probable que la mayoría de la gente esté dispuesta a aceptar que la matemática hace aportes valiosos en los diferentes aspectos de la vida diaria, pero no tiene idea de su esencia ni de la investigación que se hace actualmente en matemática, ni hablar de sus progresos y expansión.

Para lograr captar algo de su espíritu, acompáñeme en este viaje que sirve para refrescar –a muy grandes rasgos– los primeros pasos y la evolución de la matemática a través del tiempo. La respuesta a la pregunta –¿qué es la matemática?– ha variado mucho en el transcurso de la historia. Hasta unos 500 años antes de Cristo, aproximadamente, la matemática era –efectivamente– el estudio de los números. Me refiero, por supuesto, al período de los matemáticos egipcios y babilonios, en cuyas civilizaciones la matemática consistía casi absolutamente en aritmética. Se parecía a un recetario de cocina: haga esto y aquello con un número y obtendrá tal respuesta. Era como poner ingredientes en la batidora y hacer un licuado. Los escribas egipcios utilizaban la matemática para la contabilidad, mientras que en Babilonia eran los astrónomos los que la desarrollaban de acuerdo con sus necesidades.

Durante el período que abarcó desde los 500 años antes de Cristo hasta los 300 después de Cristo, aproximadamente 800 años, los matemáticos griegos demostraron preocupación e interés por el estudio de la geometría. Tanto que pensaron a los números en forma geométrica. Para los griegos, los números eran herramientas. Así fue como los números de los babilonios “les quedaron chicos...”, ya no les alcanzaban. Tenían los naturales (1, 2, 3, 4, 5, etc.) y los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos), pero no eran suficientes.

Los babilonios ya tenían también los números racionales, o sea los cocientes entre los enteros (por ejemplo: 1/2, 5/3, -7/8, (-13/15), 7/-19, 0, 12/13, etc.), que proveían el desarrollo decimal (5,67 o 3,8479) y los números periódicos (0,4444... o 0,191919...). Estos les permitían medir, por ejemplo, magnitudes mayores que cinco, pero menores que seis. Pero aún así eran insuficientes.

Algunas escuelas como la de los “pitagóricos” (que se prometían en forma mística no difundir el saber) pretendían que todo fuera mensurable, y por eso casi enloquecieron cuando no podían “medir bien” la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midieran uno. O sea, había medidas para las cuales los números de los griegos no se adecuaban o no se correspondían. Es entonces que “descubrieron” los números irracionales... o no les quedó más remedio que admitir su existencia.

El interés de los griegos por los números como herramientas y su énfasis en la geometría elevaron a la matemática al estudio de los números y también de las formas. Allí es donde empieza a aparecer algo más. Comienza la expansión de la matemática que ya no se detendrá. De hecho, fue con los griegos que la matemática se transformó en un área de estudio y dejó de ser una mera colección de técnicas para medir y para contar. La consideraban como un objeto interesante de estudio intelectual que comprendía elementos tanto estéticos como religiosos.

Y fue un griego, Tales de Mileto, el que introdujo la idea de que las afirmaciones que se hacían en matemática podían ser probadas a través de argumentos lógicos y formales. Esta innovación en el pensamiento marcó el origen de los teoremas, pilares de las matemáticas.

Muy sintéticamente podríamos decir que la aproximación novedosa de los griegos a la matemática culmina con la publicación del famoso libro Los elementos, de Euclides, algo así como el texto de mayor circulación en el mundo después de la Biblia. En su época, este libro de matemática fue tan popular como las enseñanzas de Dios. Y como la Biblia no podía explicar al número π, lo “hacía” valer 3.

Siguiendo con esta pintura a trazos muy gruesos de la historia, es curioso que no haya habido demasiados cambios en la evolución de las matemáticas sino hasta mediados del siglo XVII, cuando –simultáneamente en Inglaterra y en Alemania– Newton, por un lado, y Leibniz, por el otro, “inventaron” el cálculo.

El cálculo abrió todo un mundo de nuevas posibilidades porque permitió el estudio del movimiento y del cambio. Hasta ese momento, la matemática era una cosa rígida y estática. Con ellos aparece la noción de “límite”: la idea o el concepto de que uno puede acercarse tanto a algo como quiera, aunque no lo alcance. Así “explotan” el cálculo diferencial, infinitesimal, etcétera. Con el advenimiento del cálculo, la matemática que parecía condenada a contar, a medir, a describir formas, a estudiar objetos estáticos, se libera de sus cadenas y comienza a “moverse”.

Los matemáticos estuvieron en mejores condiciones de estudiar el movimiento de los planetas, la expansión de los gases, el flujo de los líquidos, la caída de los cuerpos, las fuerzas físicas, el magnetismo, la electricidad, el crecimiento de las plantas y los animales, la propagación de las epidemias, etcétera.

Después de Newton y Leibniz, la matemática se convirtió en el estudio de los números, las formas, el movimiento, el cambio y el espacio. La mayor parte del trabajo inicial que involucraba el cálculo se dirigió al estudio de la física. De hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época fueron también físicos notables. En aquel momento no había una división tan tajante entre las diferentes disciplinas del saber como la hay en nuestros días. El conocimiento no era tan vasto y una misma persona podía ser artista, matemática, física, y otras cosas más, como lo fueron, entre otros, Leonardo Da Vinci y Miguel Angel.

A partir de la mitad del siglo XVIII nació el interés en la matemática como objeto de estudio. En otras palabras, la gente comenzó a estudiar la matemática ya no sólo por sus posibles aplicaciones, sino por los desafíos que vislumbraba la enorme potencia introducida por el cálculo.

Sobre el final del siglo XIX, la matemática se había convertido en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio, del espacio y también de las herramientas matemáticas que se utilizaban para ese estudio.

La explosión de la actividad matemática ocurrida en este siglo fue imponente. Sobre el comienzo del año 1900, el conocimiento matemático de todo el mundo hubiera cabido en una enciclopedia de 80 volúmenes. Si hoy hiciéramos el mismo cálculo, estaríamos hablando de más de 100 mil tomos.

El desarrollo de la matemática incluye numerosas nuevas ramas. En alguna época las ramas eran doce, entre las que se hallaban la aritmética, la geometría, el cálculo, etcétera. Luego de lo que llamamos “explosión” surgieron alrededor de 60 o 70 categorías en las cuales se pueden dividir las diferentes áreas de la matemática. Es más, algunas –como el álgebra y la topología– se han bifurcado en múltiples subramas. Por otro lado, hay objetos totalmente nuevos, de aparición reciente, como la teoría de la complejidad o la teoría de los sistemas dinámicos.

Debido a este crecimiento tremendo de la actividad matemática, uno podría ser tildado de reduccionista si a la pregunta de “¿qué es la matemática?” respondiera: “Es lo que los matemáticos hacen para ganarse la vida”.

Hace tan sólo unos veinte años nació la propuesta de una definición de la matemática que tuvo –y todavía tiene– bastante consenso entre los matemáticos. “La matemática es la ciencia de los patterns” (o de los patrones).

En líneas muy generales, lo que hace un matemático es examinar patterns abstractos. Es decir, buscar peculiaridades, cosas que se repitan, patrones numéricos, de forma, de movimiento, de comportamiento, etcétera. Estos patterns pueden ser tanto reales como imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, de las profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de la mente.

Como se ve, contestar la pregunta –¿qué es la matemática?– con un simple “es el estudio de los números”, a esta altura del siglo XXI es cuanto menos un grave problema de información, cuya responsabilidad mayor no pasa por quienes eso piensan sino de los que nos quedamos de este otro lado, disfrutando algo que no sabemos compartir.