CIENCIAS FORMALES - MATEMATICA.
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Por: Adrián Paenza.
¿Cómo multiplicar si uno no sabe las tablas?
Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decir que los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas. Sólo se requiere:
- saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);
- saber dividir por 2, y
- saber sumar.
Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones de Rusia. Es conocido como la multiplicación paisana . En lugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que será suficiente para entenderlo.
Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136.
En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.
Ahí para.
Esta columna, entonces, quedó así:
9
4
2
1
Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna. Es decir:
| 19 | 136 |
| 9 | 272 |
| 4 | 544 |
| 2 | 1.088 |
| 1 | 2.176 |
Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha. Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso:
| 19 | 136 |
| 9 | 272 |
| 4 | |
| 2 | |
| 1 | 2.176 |
Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:
que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.
Un ejemplo más.
Multipliquemos ahora 375 por 1.517. Me apuro a decir que da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:
| 375 | 1.517 |
| 187 | 3.034 |
| 93 | 6.068 |
| 46 | 12.136 |
| 23 | 24.272 |
| 11 | 48.544 |
| 5 | 97.088 |
| 2 | 194.176 |
| 1 | 388.352 |
Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros de la primera columna sean impares:
| 375 | 1.517 |
| 187 | 3.034 |
| 93 | 6.068 |
| 46 | |
| 23 | 24.272 |
| 11 | 48.544 |
| 5 | 97.088 |
| 2 | |
| 1 | 388.352 |
Y, justamente, 568.875 es el producto que estábamos buscando.
Ahora, le invito a que piense por qué funciona este método que no requiere que uno sepa las tablas de multiplicar (salvo la del 2, claro).
EXPLICACIÓN: Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de un número, lo que debe hacer es dividir el número por 2 reiteradamente, y anotar los restos que las cuentas arrojan. Por ejemplo:
| 173 = | 86 * 2 | + 1 |
| 86 = | 43 * 2 | + 0 |
| 43 = | 21 * 2 | + 1 |
| 21 = | 10 * 2 | + 1 |
| 10 = | 5 * 2 | + 0 |
| 5 = | 2 * 2 | + 1 |
| 2 = | 1 * 2 | + 0 |
| 1 = | 0 * 2 | + 1 |
De modo que el número 173 se escribirá (recorriendo los restos de abajo hacia arriba):
Supongamos ahora que uno quiere multiplicar 19 por 136.
Entonces, lo que hacíamos era dividir sucesivamente por 2 el número 19:
| 19 = | 9 * 2 | + 1 |
| 9 = | 4 * 2 | + 1 |
| 4 = | 2 * 2 | + 0 |
| 2 = | 1 * 2 | + 0 |
| 1 = | 0 * 2 | + 1 |
Es decir que la escritura binaria del 19 se obtiene recorriendo de abajo hacia arriba los restos; por lo tanto, se tiene el 10011.
Por otro lado, esto nos dice que el número 19 se escribe así:
Luego, cuando uno tiene que multiplicar 19 por 136, aprovechamos la escritura enbinario de 19, y anotamos:
(Y ahora, usando la propiedad distributiva de la multiplicación, se tiene:)
Esto explica por qué funciona este método para multiplicar.
Encubiertamente, uno está usando la escritura binaria de uno de los números.
Veamos el otro ejemplo (375 . 1.517):
| 375 = | 187 * 2 | + 1 |
| 187 = | 93 * 2 | + 1 |
| 93 = | 46 * 2 | + 1 |
| 46 = | 23 * 2 | + 0 |
| 23 = | 11 * 2 | + 1 |
| 11 = | 5 * 2 | + 1 |
| 5 = | 2 * 2 | + 1 |
| 2 = | 1 * 2 | + 0 |
| 1 = | 0 * 2 | + 1 |
Luego, la escritura binaria del 375 es:
Es decir:
= 256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 (*)
Si uno quisiera multiplicar 1.517 por 375, lo que debe hacer es descomponer el número 375, como está indicado en (*).
Luego:
(Usando la propiedad distributiva del producto otra vez:)
= 388.352 + 97.088 + 48.544 + 24.272 + 6.068 + 3.034 + 1.517
que son justamente los sumandos que teníamos antes.
En definitiva, la escritura en binario permite encontrar la descomposición de uno de los dos números que queremos multiplicar y, al hacerlo, explica cuántas veces hay que duplicar el otro.
